Question

如圖所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長BC至M，使CM=|CE-EO|，再以CM、CO為邊作矩形CMNO．
（1）試比較EO、EC的大小，并說明理由；
（2）令m=

S四邊形CFGH

S四邊形CMNO

，請問m是否為定值？若是，請求出m的值；若不是，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若CO=1，CE=

1

3

，Q為AE上一點且QF=

2

3

，拋物線y=mx²+bx+c經過C、Q兩點，請求出此拋物線的解析式；
（4）在（3）的條件下，若拋物線y=mx²+bx+c與線段AB交于點P，試問在直線BC上是否存在點K，使得以P、B、K為頂點的三角形與△AEF相似？若存在，請求直線KP與y軸的交點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據折疊的條件得到EO=EF，在直角△CEF中，斜邊大于直角邊，因而EF＞EC故EO＞EC
（2）四邊形CFGH與四邊形CNMO的面積可以用直角△CEF的面積，可以證明四邊形CFGH與四邊形CNMO的面積相等．因而就可以求出m的值．
（3）已知OC=1，可以得到C點的坐標是（0，1），易證△EFQ是等邊三角形，已知QF=

2

3

就可以求出Q點的坐標，把C，Q點的坐標代入函數y=mx²+bx+c，就可以求出b，c的值，就可以得到函數的解析式．
（4）過Q作y軸的垂線，已知E，Q點的坐標，可以根據三角形相似，求出OA的長，就可以求出P點的橫坐標，進而求出P點的坐標．
若△PBK與△AEF相似，根據相似三角形的對應邊的比相等，可以求出BK的值，即得到K的坐標．

解答：解：（1）EO＞EC，理由如下：
由折疊知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF為斜邊，
∴EF＞EC，
故EO＞EC．

（2）m為定值，理由如下：
∵S_{四邊形CFGH}=CF²=EF²-EC²=EO²-EC²=（EO+EC）（EO-EC）=CO•（EO-EC），
S_{四邊形CMNO}=CM•CO=|CE-EO|•CO=（EO-EC）•CO，
∴m=

S四邊形CFGH

S四邊形CMNO

=1．

（3）∵CO=1，CE=

1

3

，QF=

2

3

，
∴EF=EO=1-

1

3

=

2

3

=QF，
∴cos∠FEC=

1

2

，
∴∠FEC=60°，
∴∠FEA=

180°-60°

2

=60°=∠OEA，∠EAO=30°，
∴△EFQ為等邊三角形，EQ=

2

3

．
作QI⊥EO于I，EI=

1

2

EQ=

1

3

，IQ=

3

2

EQ=

3

3

，
∴IO=

2

3

-

1

3

=

1

3

，
∴Q點坐標為(

3

3

，

1

3

)．
∵拋物線y=mx²+bx+c過點C（0，1），Q(

3

3

，

1

3

)，m=1，
∴可求得b=-

3

，c=1，
∴拋物線解析式為y=x2-

3

x+1．

（4）由（3），AO=

3

EO=

2

3

3

，
當x=

2

3

3

時，y=(

2

3

3

)2-

3

×

2

3

3

+1=

1

3

＜AB，
∴P點坐標為(

2 3

3

，

1

3

)，
∴BP=1-

1

3

=

2

3

AO．
方法1：若△PBK與△AEF相似，而△AEF≌△AEO，則分情況如下：
①

BK

2 3

=

2 3

2 3 3

時，BK=

2 3

9

，
∴K點坐標為(

4 3

9

，1)或(

8 3

9

，1)；
②

BK

2 3 3

=

2 3

2 3

時，BK=

2 3

3

，
∴K點坐標為(

4 3

3

，1)或（0，1）．
故直線KP與y軸交點T的坐標為(0，-

5

3

)或(0，

7

3

)或(0，-

1

3

)或(0，1)．
方法2：若△BPK與△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°．
過P作PR⊥y軸于R，則∠RTP=60°或30°．
①當∠RTP=30°時，RT=

2 3

3

×

3

=2，
②當∠RTP=60°時，RT=

2 3

3

÷

3

=

2

3

，
∴T1(0，

7

3

)，T2(0，-

5

3

)，T3(0，-

1

3

)，T4(0，1)．

點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式，以及相似三角形的性質，相似三角形的對應邊的比相等．