Question

【題目】已知拋物線y=﹣mx2+4x+2m與x軸交于點A（α，0），B（β，0），且=﹣2，

（1）求拋物線的解析式．

（2）拋物線的對稱軸為l，與y軸的交點為C，頂點為D，點C關(guān)于l的對稱點為E，是否存在x軸上的點M，y軸上的點N，使四邊形DNME的周長最小？若存在，請畫出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由．

（3）若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+2；（2）10+2；（3）（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．

【解析】

試題分析：（1）利用根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系得出α+β=，αβ=﹣2，進而代入求出m的值即可得出答案；

（2）利用軸對稱求最短路線的方法，作點D關(guān)于y軸的對稱點D′，點E關(guān)于x軸的對稱點E′，得出四邊形DNME的周長最小為：D′E′+DE，進而利用勾股定理求出即可；

（3）利用平行四邊形的判定與性質(zhì)結(jié)合P點縱坐標為±4，進而分別求出即可．

解：（1）由題意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，

α+β=，αβ=﹣2，

∵=﹣2，

∴=﹣2，即=﹣2，

解得：m=1，

故拋物線解析式為：y=﹣x2+4x+2；

（2）存在x軸上的點M，y軸上的點N，使得四邊形DNME的周長最小，

∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，

∴拋物線的對稱軸l為x=2，頂點D的坐標為：（2，6），

又∵拋物線與y軸交點C的坐標為：（0，2），點E與點C關(guān)于l對稱，

∴E點坐標為：（4，2），

作點D關(guān)于y軸的對稱點D′，點E關(guān)于x軸的對稱點E′，

則D′的坐標為；（﹣2，6），E′坐標為：（4，﹣2），

連接D′E′，交x軸于M，交y軸于N，

此時，四邊形DNME的周長最小為：D′E′+DE，如圖1所示：

延長E′E，′D交于一點F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8，

則D′E′===10，

設對稱軸l與CE交于點G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，

∴DE===2，

∴四邊形DNME的周長最小值為：10+2；

（3）如圖2，P為拋物線上的點，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，

若以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，則△PHQ≌△DGE，

∴PH=DG=4，

∴|y|=4，

∴當y=4時，﹣x2+4x+2=4，

解得：x1=2+，x2=2﹣，

當y=﹣4時，﹣x2+4x+2=﹣4，

解得：x3=2+，x4=2﹣，

故P點的坐標為；（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．