Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若點P從點A出發，以每秒4cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運動，設運動時間為t秒（t＞0）．

（1）若點P在AC上，且滿足△BCP的周長為14cm，求此時t的值；

（2）若點P在∠BAC的平分線上，求此時t的值；

（3）在運動過程中，直接寫出當t為何值時，△BCP為等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）t為s或5.3s或5s或s時，△BCP為等腰三角形.

【解析】

（1）根據△BCP的周長為14cm， 可得AP=4t，PC=8-4t，BP=14-PC-BC=4t，根據勾股定理列出方程可求得t的值；

（2）過P作PE⊥AB，設CP=x，根據角平分線的性質和勾股定理列方程式求出CP，由此可求出t；

（3）分類討論：當CP=CB時，△BCP為等腰三角形，若點P在AC上，根據AP的長即可得到t的值，若點P在AB上，根據P移動的路程易得t的值；當PC=PB時，△BCP為等腰三角形，作PD⊥BC于D，根據等腰三角形的性質得BD=CD，則可判斷PD為△ABC的中位線，則AP=0.5AB=5，易得t的值；當BP=BC=6時，△BCP為等腰三角形，易得t的值．

(1)∵△ABC中,∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，

∴由勾股定理得，

如圖，連接BP，

當△BCP的周長為14cm 時，

在中根據勾股定理

即

解得.

故此時；

（2）如圖1，過P作PE⊥AB，

又∵點P恰好在∠BAC的角平分線上,且∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，

∴CP=EP，

∴△ACP≌△AEP(HL)，

∴AC=8cm=AE，BE=2，

設CP=x，則BP=6x，PE=x，

∴Rt△BEP中,BE2+PE2=BP2，

即22+x2=(6x)2

解得x=，

∴CP=，

∴CA+CP=8+=，

∴；

（3）①如圖2,當CP=CB時,△BCP為等腰三角形

若點P在CA上，則4t=86，

解得t= (s)；

②如圖3，

當BP=BC=6時，△BCP為等腰三角形，

∴AC+CB+BP=8+6+6=20，

∴t=20÷4=5(s)；

③如圖4，

若點P在AB上，CP=CB=6，作CD⊥AB于D，則根據面積法求得CD=4.8，

在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=3.6，

∴PB=2BD=7.2，

∴CA+CB+BP=8+6+7.2=21.2，

此時t=21.2÷4=5.3(s)；

④如圖5，

當PC=PB時，△BCP為等腰三角形，作PD⊥BC于D，則D為BC的中點，

∴PD為△ABC的中位線，

∴AP=BP=AB=5，

∴AC+CB+BP=8+6+5=19，

∴t=19÷4=(s)；

綜上所述,t為s或5.3s或5s或s時，△BCP為等腰三角形.