Question

【題目】如圖，已知拋物線（a≠0）的圖象的頂點坐標是（2，1），并且經過點（4，2），直線與拋物線交于B，D兩點，以BD為直徑作圓，圓心為點C，圓C與直線m交于對稱軸右側的點M（t，1），直線m上每一點的縱坐標都等于1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）證明：圓C與x軸相切；

（3）過點B作BE⊥m，垂足為E，再過點D作DF⊥m，垂足為F，求MF的值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）證明見解析；（3） ．

【解析】

試題分析：（1）可設拋物線的頂點式，再結合拋物線過點（4，2），可求得拋物線的解析式；

（2）聯立直線和拋物線解析式可求得B、D兩點的坐標，則可求得C點坐標和線段BD的長，可求得圓的半徑，可證得結論；

（3）過點C作CH⊥m于點H，連接CM，可求得MH，利用（2）中所求B、D的坐標可求得FH，則可求得MF和BE的長，可求得其比值．

試題解析：

（1）∵已知拋物線（a≠0）的圖象的頂點坐標是（2，1），∴可設拋物線解析式為 ，∵拋物線經過點（4，2），∴，解得a=，∴拋物線解析式為，即；

（2）聯立直線和拋物線解析式可得，解得：或，∴B（，），D（，），∵C為BD的中點，∴點C的縱坐標為 =，∵BD= =5，∴圓的半徑為，∴點C到x軸的距離等于圓的半徑，∴圓C與x軸相切；

（3）如圖，過點C作CH⊥m，垂足為H，連接CM，由（2）可知CM=，CH=﹣1=，在Rt△CMH中，由勾股定理可求得MH=2，∵HF= =，∴MF=HF﹣MH=，∵BE=﹣1=，∴= =．