Question

【題目】如圖，四邊形OABC是邊長為4的正方形，點P為OA邊上任意一點（與點O、A不重合），連接CP，過點P作PM⊥CP交AB于點D，且PM=CP，過點M作MN∥OA，交BO于點N，連接ND、BM，設OP=t．

（1）求點M的坐標（用含t的代數式表示）．

（2）試判斷線段MN的長度是否隨點P的位置的變化而改變？并說明理由．

（3）當t為何值時，四邊形BNDM的面積最小．

Answer 1

【答案】（1）點M的坐標為：（t+4，t）；

（2）MN=OA=4；

（3）當m≤時，平移后的拋物線總有不動點．

【解析】

試題分析：（1）作ME⊥x軸于E，則∠MEP=90°，先證出∠PME=∠CPO，再證明△MPE≌△PCO，得出ME=PO=t，EP=OC=4，求出OE，即可得出點M的坐標；

（2）連接AM，先證明四邊形AEMF是正方形，得出∠MAE=45°=∠BOA，AM∥OB，證出四邊形OAMN是平行四邊形，即可得出MN=OA=4；

（3）先證明△PAD∽△PEM，得出比例式，得出AD，求出BD，求出四邊形BNDM的面積S是關于t的二次函數，即可得出結果．

試題解析：（1）作ME⊥x軸于E，如圖1所示：則∠MEP=90°，ME∥AB，∴∠MPE+∠PME=90°，

∵四邊形OABC是正方形，∴∠POC=90°，OA=OC=AB=BC=4，∠BOA=45°，

∵PM⊥CP，∴∠CPM=90°，∴∠MPE+∠CPO=90°，∴∠PME=∠CPO，

在△MPE和△PCO中，，∴△MPE≌△PCO（AAS），

∴ME=PO=t，EP=OC=4，∴OE=t+4，

∴點M的坐標為：（t+4，t）；

（2）線段MN的長度不發生改變；理由如下：

連接AM，如圖2所示：

∵MN∥OA，ME∥AB，∠MEA=90°，∴四邊形AEMF是矩形，又∵EP=OC=OA，

∴AE=PO=t=ME，∴四邊形AEMF是正方形，∴∠MAE=45°=∠BOA，

∴AM∥OB，∴四邊形OAMN是平行四邊形，∴MN=OA=4；

（3）∵ME∥AB，∴△PAD∽△PEM，∴，即，

∴AD=﹣t2+t，∴BD=AB﹣AD=4﹣（﹣t2+t）=t2﹣t+4，

∵MN∥OA，AB⊥OA，∴MN⊥AB，

∴四邊形BNDM的面積S=MNBD=×4（t2﹣t+4）=（t﹣2）2+6，

∴S是t的二次函數，∵＞0，∴S有最小值，

當t=2時，S的值最小；

∴當t=2時，四邊形BNDM的面積最小．