Question

【題目】如圖1，△ABC內接于⊙O，直徑AD交BC于點E，延長AD至點F，使DF＝2OD，連接FC并延長交過點A的切線于點G，且滿足AG∥BC，連接OC，若cos∠BAC＝，BC＝8．

（1）求證：CF是⊙O的切線；

（2）求⊙O的半徑OC；

（3）如圖2，⊙O的弦AH經過半徑OC的中點F，連結BH交弦CD于點M，連結FM，試求出FM的長和△AOF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3），

【解析】

（1）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，求得，推出△COE∽△FOE，根據相似三角形的性質得到∠OCF=∠DEC=90°，于是得到CF是⊙O的切線；

（2）利用三角函數值，設OE=x，OC=3x，得到CE=3，根據勾股定理即可得到答案；

（3）連接BD，根據圓周角定理得到角相等，然后證明△AOF∽△BDM，由相似三角形的性質，得到FM為中位線，即可求出FM的長度，由相似三角形的性質，以及中線分三角形的面積為兩半，即可求出面積.

解：（1） ∵DF＝2OD，

∴OF＝3OD＝3OC，

∴，

∵∠COE＝∠FOC，

∴△COE∽△FOE，

∴∠OCF＝∠DEC＝90°，

∴CF是⊙O的切線；

（2）∵∠COD＝∠BAC，

∴cos∠BAC＝cos∠COE＝，

∴設OE＝x，OC＝3x，

∵BC＝8，

∴CE＝4，

∵CE⊥AD，

∴OE2+CE2＝OC2，

∴x2+42＝9x2，

∴x＝（負值已舍去），

∴OC＝3x＝，

∴⊙O的半徑OC為；

（3）如圖，連結BD，

由圓周角定理，則∠OAF=∠DBM，，

∵BC⊥AD，

∴，

∴∠ADC=∠ADB，

∴，

∴△AOF∽△BDM；

∵點F是OC的中點，

∴AO：OF=BD：DM=2，

又∵BD=DC，

∴DM=CM，

∴FM為中位線，

∴FM=

∴S△AOF: S△BDM=(:)2 ；

∵；

∴S△AOF==；