Question

【題目】如圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列結論：①∠CEG=2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠CGE=2∠DFB，其中正確的結論有（　　）個．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根據平行線的性質及角平分線的可判定①；②由已知條件無法判定；③根據直角三角形的兩銳角互余及同角（或等角）的余角相等即可判定③；④根據三角形外角的性質及四邊形的內角和求得∠DFE=135°，即可得∠DFB=45°，由此即可判定④.

①∵EG∥BC，

∴∠CEG=∠ACB，

又∵CD是△ABC的角平分線，

∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，①正確；

②無法證明CA平分∠BCG，②錯誤；

③∵∠A=90°，

∴∠ADC+∠ACD=90°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∴∠ADC+∠BCD=90°．

∵EG∥BC，且CG⊥EG，

∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，

∴∠ADC=∠GCD，③項正確；

④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，

∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，

∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，

∴∠DFB=45°=∠CGE，

即∠CGE=2∠DFB，④項正確．

故選C.