Question

【題目】如圖，點B、C、D都在半徑為6的⊙O上，過點C作AC∥BD交OB的延長線于點A，連接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

由圓周角定理得，∠BOC=2∠CDB=60°，

∵∠OBD=30°，

∴OC⊥BD，

∵AC∥BD，

∴OC⊥AC，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：扇形OBC的面積= =6π，

∵OB=6，∠OBH=30°，

∴OH=3，BH=3 ，

△OBH的面積= ×BH×OH= ×3 ×3= ，

△HCD的面積= ×6×3 × = ，

∴陰影部分的面積=6π﹣ + =6π．

【解析】（1）連接OC，根據圓周角定理得到∠BOC=2∠CDB=60°，得到OC⊥BD，根據平行線的性質得到OC⊥AC，根據切線的判定定理證明結論；（2）根據扇形的面積公式、三角形的面積公式計算即可．
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理和扇形面積計算公式的相關知識點，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）才能正確解答此題．