Question

【題目】如圖1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，點B、C、G在同一條直線上，M是線段AE的中點，DM的延長線交EF于點N，連接FM，易證：DM=FM，DM⊥FM（無需寫證明過程）

（1）如圖2，當點B、C、F在同一條直線上，DM的延長線交EG于點N，其余條件不變，試探究線段DM與FM有怎樣的關系？請寫出猜想，并給予證明；
（2）

如圖3，當點E、B、C在同一條直線上，DM的延長線交CE的延長線于點N，其余條件不變，探究線段DM與FM有怎樣的關系？請直接寫出猜想．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖2，

DM=FM，DM⊥FM，

證明：連接DF，NF，

∵四邊形ABCD和CGEF是正方形，

∴AD∥BC，BC∥GE，

∴AD∥GE，

∴∠DAM=∠NEM，

∵M是AE的中點，

∴AM=EM，

在△MAD與△MEN中，

∴△MAD≌△MEN，

∴DM=MN，AD=EN，

∵AD=CD，

∴CD=NE，

∵CF=EF，∠DCF=∠DCB=90°，

在△DCF與△NEF中，

，

∴△MAD≌△MEN，

∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，

∵∠EFN+∠NFC=90°，

∴∠DFC+∠CFN=90°，

∴∠DFN=90°，

∴DM⊥FM，DM=FM

（2）

解：猜想：DM⊥FM，DM=FM，

證明如下：如圖3，連接DF，NF，連接DF，NF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∵點E、B、C在同一條直線上，

∴AD∥CN，

∴∠ADN=∠MNE，

在△MAD與△MEN中，

，

∴△MAD≌△MEN，

∴DM=MN，AD=EN，

∵AD=CD，

∴CD=NE，

∵CF=EF，

∵∠DCF=90°+45°=135°，∠NEF=180°﹣45°=135°，

∴∠DCF=∠NEF，

在△DCF與△NEF中，

，

∴△MAD≌△MEN，

∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，

∵∠CFD+∠EFD=90°，

∴∠NFE+∠EFD=90°，

∴∠DFN=90°，

∴DM⊥FM，DM=FM．

【解析】（1）連接DF，NF，由四邊形ABCD和CGEF是正方形，得到AD∥BC，BC∥GE，于是得到AD∥GE，求得∠DAM=∠NEM，證得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，證出△DFN是等腰直角三角形，即可得到結論；
（2）連接DF，NF，由四邊形ABCD是正方形，得到AD∥BC，由點E、B、C在同一條直線上，于是得到AD∥CN，求得∠DAM=∠NEM，證得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，證出△DFN是等腰直角三角形，于是結論得到．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質和作圖-位似變換的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；對應點到位似中心的距離比就是位似比，對應線段的比等于位似比，位似比也有順序；已知圖形的位似圖形有兩個，在位似中心的兩側各有一個．位似中心，位似比是它的兩要素才能正確解答此題．