Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內作等邊三角形AOB，點C為x正半軸上一動點（OC＞1），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內作等邊△CBD，連接DA并延長，交y軸于點E．

①△OBC與△ABD全等嗎？判斷并證明你的結論；

②當點C運動到什么位置時，以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）△OBC≌△ABD．證明見解析；（2）當點C的坐標為（3，0）時，以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形．

【解析】

試題（1）先根據等邊三角形的性質得OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC＝60°，則∠OBC＝∠ABD.然后可根據“SAS”可判定△OBC≌△ABD；
（2）先根據全等三角形的性質以及等邊三角形的性質，求得∠EAC=120°，進而得出以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形時，AE和AC是腰，最后根據Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，求得AC=AE=2，據此得到OC=1+2=3，即可得出點C的位置．

試題解析：

證明：∵△AOB，△CBD都是等邊三角形，

∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC＝60°，

∴∠OBC＝∠ABD.

在△OBC和△ABD中，

∴△OBC≌△ABD(SAS)．

(2)∵△OBC≌△ABD，

∴∠BOC＝∠BAD＝60°.

又∵∠OAB＝60°，

∴∠OAE＝180°－60°－60°＝60°，

∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，

∴以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形時，AE和AC是腰．

∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，

∴AE＝2，

∴AC＝AE＝2，

∴OC＝1＋2＝3，

∴當點C的坐標為(3，0)時，以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形．