Question

【題目】在平面直角坐標系中，M（m，n）且m、n滿足m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，B（0，b）為y軸上一動點，繞B點將直線BM順時針旋轉45°交x軸于點C，過C作AC⊥BC交直線BM于點A（a，t）．

（1）求點M的坐標；

（2）如圖1，在B點運動的過程中，A點的橫坐標是否會發生變化？若不變，求a的值；若變化，寫出A點的橫坐標a的取值范圍；

（3）如圖2，過T（a，0）作TH⊥BM（垂足H在x軸下方），在射線HB上截取HK＝HT，連OK，求∠OKB的度數．

Answer 1

【答案】(1) 點M的坐標為（﹣2，﹣2）；(2)不變,a=-4；(3) 45°

【解析】

（1）根據非負數的性質分別求出m、n，得到點M的坐標；
（2）過A作AT⊥x軸，MD⊥x軸于D，連接OM，CM，證明△CBO≌△ACT，根據全等三角形的性質得到CT=BO=-b，AT=CO=t，根據等腰直角三角形的性質得到∴M為AB中點，根據中點的性質計算，得到答案；
（3）連TM、OM，過O作ON⊥BM于N，證明△HTM≌△NMO，根據全等三角形的性質，等腰直角三角形的性質解答即可．

（1）m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，

m2+n2﹣2mn+n2+4n+4＝0，

（m﹣n）2+（n+2）2＝0，

則m﹣n＝0，n+2＝0，

解得，m＝﹣2，n＝﹣2，

∴點M的坐標為（﹣2，﹣2）；

（2）過A作AT⊥x軸，MD⊥x軸于D，連接OM，CM，

在Rt△ACB中，∠ABC＝45°，

∴CA＝CB，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACT+∠TCB＝90°，

∵∠BOC＝90°，

∴∠BCO+∠TCB＝90°，

∴∠ACT＝∠CBO，

在△CBO和△ACT中，

，

∴△CBO≌△ACT（AAS），

∴CT＝BO＝﹣b，AT＝CO＝t，

∴a＝b+t，

∵DO＝DM，

∴∠DOM＝45°，

∴∠MOC＝135°，

∴∠MOC+∠ABC＝180°，

∴O、M、B、C四點共圓，

∴∠CMB＝∠COB＝90°，

∵CA＝CB，

∴M為AB中點，

∴b+t＝﹣4，

∴a＝﹣4；

（3）連TM、OM，過O作ON⊥BM于N，

由（2）可知T（﹣4，0），

∴OT＝4，又點M的坐標為（﹣2，﹣2），

∴△TMO為等腰直角三角形，

∴MT＝MO，

∵∠THM＝90°，∠TMO＝90°，

∴∠TMH＝∠MON，

在△HTM和△NMO中，

，

∴△HTM≌△NMO（AAS），

∴HT＝MN，HM＝ON，

∴HK＝KN，

∴KN＝ON，

∴∠OKB＝45°．