Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，M是AD延長線上一點，且MD＝BE，連接CE，CM.

(1)求證：∠BCE＝∠DCM；

(2)若點N在邊AD上，且∠NCE＝45°，連接NC，NE，求證：NE＝BE＋DN；

(3)在(2)的條件下，若DN＝2，MD＝3，求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；（3）正方形ABCD的邊長為6.

【解析】

（1）根據正方形的性質得到CD=BC，∠ADC=∠B=90°，

根據全等三角形的性質得到∠BCE=∠DCM；

（2）根據全等三角形的性質得到∠BCE=∠DCM，CE=CM，根據全等三角形的性質得到NE=MN，等量代換即可得到結論；

（3）設正方形的邊長為x根據勾股定理即可得到結論．

（1）證明：在正方形ABCD中，

∵CD=BC，∠ADC=∠B=90°，

∴∠MDC=∠B=90°，

在△BCE與△CDM中，

，

∴△BCE≌△CDM，

∴∠BCE=∠DCM；

（2）∵∠NCE=45°，

∴∠BCE+∠DCN=45°，

∵△BCE≌△CDM，

∴∠BCE=∠DCM，CE=CM，

在△CEN與△CMN中，

，

∴△CEN≌△CMN，

∴NE=MN，

∵MN=MD+DN=BE+DN，

∴NE=BE+DN；

（3）設正方形的邊長為x，

∵NE=BE+DN=MD+DN=3+2=5，AN=AD-DN=x-2，AE=x-3，

∵NE2=AN2+AE2，

∴52=（x-2）2+（x-3）2，

解得：x=6，或x=-1（不合題意，舍去），

∴正方形的邊長是6．