Question

【題目】如圖，點D在邊BC上，∠C+∠BAD＝∠DAC，過D作DE⊥AB于E，，則線段AC的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，作∠DAH=∠DAE，交BC于H，過點D作DF⊥AH于F，過點A作AG⊥BC于G，根據角平分線的性質可得DE=DF，AE=AF，由∠C+∠BAD＝∠DAC可得∠HAC=∠C，即可證明AH=CH，設DE=4x，根據，利用勾股定理可求出DF、AF的長，設FH=y，在Rt△DFH中，利用勾股定理列方程可求出y值，即可求出DH的長，利用面積法可求出AG的長，利用勾股定理可求出DG的長，即可求出CG的長，利用勾股定理求出AC的長即可得答案．

如圖，作∠DAH=∠DAE，交BC于H，過點D作DF⊥AH于F，過點A作AG⊥BC于G，

∵DE⊥AB，

∴DE=DH，AE=AF，

設DE=4x，

∵，

∴AE=7x，

∵AD=，AE2+AE2=AD2，

∴(4x)2+(7x)2=65，

解得：x=1，（負值舍去）

∴DE=4，AE=7，

∴DF=DE=4，DF=AE=7，

∵∠C+∠BAD＝∠DAC，∠DAC=∠DAH+∠HAC，

∴∠HAC=∠C，

∴AH=CH，

設FH=y，

∴CH=AH=AF+FH=7+y，

∵CD=13，

∴DH=CD-CH=6-y，

在Rt△DFH中，DF2+FH2=DH2，即42+y2=(6-y)2，

解得：y=，

∴DH=6-=，CH=AH=7+=，

∴S△ADH=DH·AG=AH·DF，即·AG=×4，

解得：AG=8，

∴DG==1，

∴CG=CD-DG=12，

∴AC==．

故答案為：