Question

【題目】如圖，矩形中，，分別是線段AC、BC上的點，且四邊形為矩形．

（Ⅰ）若是等腰三角形時，求的長；

（Ⅱ）若，求的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）AP的長為4或5或；（Ⅱ）CF=

【解析】

試題分析：（Ⅰ）分情況CP=CD、PD=PC、DP=DC討論即可得；

（Ⅱ）連結PF、DE，記PF與DE的交點為O，連結OC，通過證明△ADP∽△CDF，從而得 ，由AP= ，從而可得CF= .

試題解析：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6， AC= =10；

要使△PCD是等腰三角形，有如下三種情況：

（1）當CP=CD時，CP=6，∴AP=AC-CP=4 ；

（2）當PD=PC時，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP= ，即AP=5；

（3）當DP=DC時，過D作DQ⊥AC于Q，則PQ=CQ，∵S△ADC= AD·DC= AC·DQ，∴DQ= ，∴CQ= ，∴PC=2CQ = ,∴AP=AC-PC= .

綜上所述，若△PCD是等腰三角形，AP的長為4或5或；

（Ⅱ）連結PF、DE，記PF與DE的交點為O，連結OC，

∵四邊形ABCD和PEFD都是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，即∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，∴∠ADP=∠CDF，∵∠BCD=90°，OE=OD，∴OC= ED，在矩形PEFD中，PF=DE，∴OC=PF，∵OP=OF= PF，∴OC=OP=OF，∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，又∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，∴2∠OCP+2∠OCF=180°，∴∠PCF=90°，即∠PCD+∠FCD=90°，在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，∴∠PAD=∠FCD，∴△ADP∽△CDF，∴ ，∵AP= ，∴CF= .