Question

【題目】在中，分別是的中點，若等腰繞點逆時針旋轉，得到等腰，設旋轉角為，記直線與的交點為

(1)如圖，當時，線段的長等于 ,線段的長等于 ．(直接填寫結果)

(2)如圖，當時，求證：，且；

(3)設的中點為，則線段的長為 (直接填寫結果).

Answer 1

【答案】(1)； ；(2)證明見解析；(3)

【解析】

(1)利用等腰直角三角形的性質結合勾股定理即可求得答案；

(2)根據旋轉的性質得出，繼而證明，即可推得答案；

(3)利用直角三角形斜邊中線的性質即可求得答案.

(1)∵∠BAC=90°，AC=AB=4，D、E分別是邊AB、AC的最短，

∴AE=AD=2，

∵等腰繞點逆時針旋轉，得到等腰，設旋轉角為，

∴當α=90°時，AE1=2，∠E1AE=90°，

∴BD1=，CE1=，

故答案為：； ；

(2)當時，

是由繞點逆時針旋轉得到，

，

在和中

，

，

，

記直線與交于點，，

；

(3)如圖2，由(2)的證明可知旋轉角為α時，易證得，

∴∠1=∠2，

又∵∠3=∠4，∠1+∠4+∠BAC=180°，∠2+∠3+∠BPC=180°，

∴∠CPB=∠CAB=90°，

又∵M為BC的中點，

∴PM=BC，

∴PM=，

故答案為：