Question

【題目】如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點E，F，G，連接ED，DG．

（1）請判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由；

（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，點H是BD上的一個動點，求HG+HC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）四邊形EBGD是菱形，理由見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）四邊形EBGD是菱形，根據已知條件易證△EFD≌△GFB，可得ED=BG，所以BE=ED=DG=GB，即可判定四邊形EBGD是菱形．（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點H，此時HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解決問題．

試題解析：（1）四邊形EBGD是菱形．

理由：∵EG垂直平分BD，

∴EB=ED，GB=GD，

∴∠EBD=∠EDB，

∵∠EBD=∠DBC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EFD和△GFB中，

，

∴△EFD≌△GFB，

∴ED=BG，

∴BE=ED=DG=GB，

∴四邊形EBGD是菱形．

（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點H，此時HG+HC最小，

在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2，

∴EM=BE=，

∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，

∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=2，

在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，

∴∠NDC=∠NCD=45°，

∴DN=NC=，

∴MC=3，

在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=．MC=3，

∴EC===10．

∵HG+HC=EH+HC=EC，

∴HG+HC的最小值為10．