Question

【題目】小李在學習了定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”之后做了如下思考，請你幫他完成如下問題：

（1）他認為該定理有逆定理：“如果一個三角形某條邊上的中線等于該邊長的一半，那么這個三角形是直角三角形”應該成立.即如圖①，在中，是邊上的中線，若，求證：.

（2）如圖②，已知矩形，如果在矩形外存在一點，使得，求證：.（可以直接用第（1）問的結論）

（3）在第（2）問的條件下，如果恰好是等邊三角形，請求出此時矩形的兩條鄰邊與的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質和三角形內角和即可得出結論；
（2）先判斷出OE=AC，即可得出OE=BD，即可得出結論；
（3）先判斷出△ABE是底角是30°的等腰三角形，即可構造直角三角形即可得出結論．

（1）∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD，
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180°
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BAC=90°，

（2）如圖②，連接與，交點為，連接

四邊形是矩形

（3）如圖3，過點做于點

四邊形是矩形

，

是等邊三角形

，

由（2）知，

在中，

，