Question

【題目】在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，AD=5 ，CD=5，∠ABC=90°，求對角線BD的長．

Answer 1

【答案】解：作DM⊥BC，交BC延長線于M，連接AC，如圖所示：
則∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC2=AB2+BC2=25，
∴AC=5，
∵AD=5 ，CD=5，
∴AC2+CD2=AD2 ，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴ = = =1，
∴CM=AB=5，DM=BC=4，
∴BM=BC+CM=9，
∴BD= = = ．
【解析】作DM⊥BC，交BC延長線于M，連接AC，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2 ， 由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，證出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的對應邊成比例求出CM=AB=5，DM=BC=4，得出BM=BC+CM=9，再由勾股定理求出BD即可．
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和勾股定理的逆定理，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形即可以解答此題．