Question

【題目】解答題
（1）如圖1，AD、BC相交于點O，OA=OC，∠OBD=∠ODB．求證：AB=CD．
（2）如圖2，AB是⊙O的直徑，OA=1，AC是⊙O的弦，過點C的切線交AB的延長線于點D，若OD= ，求∠BAC的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠OBD=∠ODB，

∴OB=OD，

在△AOB與△COD中， ，

∴△AOB≌△COD（SAS），

∴AB=CD

（2）解：連接OC，如圖所示：

∵CD與⊙O相切，

∴OC⊥CD，

∵OA=OC，OA=1，

∴OC=1，

∴CD= = =1，

∴CD=OC，

∴△OCD為等腰直角三角形，

∴∠COB=45°，

∴∠BAC= ∠COB=22.5°．

【解析】（1）由∠OBD=∠ODB，得出OB=OD，再由SAS證得△AOB≌△COD，即可得出結論；（2）連接OC，由CD與⊙O相切，得出OC⊥CD，求出CD=1，得出△OCD為等腰直角三角形，推出∠COD=45°，即可得出結果．
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線的性質定理(切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑)．