Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦．

（1）請你按下面步驟畫圖；

第一步，過點A作∠BAC的角平分線，交⊙O于點D；

第二步，過點D作AC的垂線，交AC的延長線點E．

第三步，連接BD．

（2）求證：AD²=AE?AB；

（3）連接EO，交AD于點F，若5AC=3AB，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）如圖；

（2）先根據圓周角定理可得∠ADB=90°，再結合DE⊥AC，AD平分∠CAB，即可證得Rt△ADE∽Rt△ABD，根據相似三角形的性質即可得到結論；（3）

【解析】

試題分析：（1）根據角平分線與垂線的畫法即可作出圖形；

（2）先根據圓周角定理可得∠ADB=90°，再結合DE⊥AC，AD平分∠CAB，即可證得Rt△ADE∽Rt△ABD，根據相似三角形的性質即可得到結論；

（3）連OD、BC，它們交于點G，由5AC=3AB，可設AC=3x，AB=5x，根據圓周角定理可得∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB，可的弧DC=弧DB，即可得到OD∥AE，OG=AC=，從而證得四邊形ECGD為矩形，可的CE=DG=OD-OG=x-x =x，則AE=AC+CE=3x+x=4x，根據AE∥OD，可得△AEF∽△DOF，根據相似三角形的性質即可求得結果.

（1）如圖；

（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

而DE⊥AC，

∴∠AED=90°，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAB，

∴Rt△ADE∽Rt△ABD，

∴AD：AB=AE：AD，

∴AD²=AE?AB；

（3）連OD、BC，它們交于點G，如圖，

∵5AC=3AB，即AC：AB=3：5，

∴不妨設AC=3x，AB=5x，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

又∵∠CAD=∠DAB，

∴弧DC=弧DB，

∴OD垂直平分BC，

∴OD∥AE，OG=AC=，

∴四邊形ECGD為矩形，

∴CE=DG=OD-OG=x-x =x，

∴AE=AC+CE=3x+x=4x，

∵AE∥OD，

∴△AEF∽△DOF，

∴AE：OD=EF：OF，

∴EF：OF=4x：x=8：5，

∴．

考點：基本作圖，圓周角定理，矩形的性質，相似三角形的判定和性質

點評：解答本題的關鍵是熟練掌握直徑所對的圓周角是直角；相似三角形的對應邊成比例，注意對應字母在對應位置上.