Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ABC為直角，以AB為直徑作⊙O交AC于點D，點E為BC中點，連結DE，DB.

（1）求證：DE與⊙O相切；

（2）若∠C＝30°，求∠BOD的度數；

（3）在（2）的條件下，若⊙O半徑為2， 求陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）∠BOD＝120°；

（3）S陰影部分＝

【解析】試題分析：(1)、連接OD，根據直徑得出∠BDC=90°，根據直角三角形斜邊上的中線的性質得出∠BDE=∠DBE，根據OD=OB得出∠ODB=∠OBD，從而得出∠ODE為直角，得出切線；(2)、根據直角三角形的性質得出∠DEB=60°，根據四邊形OBED的內角和得出∠BOD的度數；(3)、根據陰影部分的面積等于四邊形OBED的面積減去扇形OBD的面積得出答案.

試題解析：（1）連結OD，∵AB為⊙O為直徑 ∴∠ADB＝90°則∠BDC＝90°，

又∵E是斜邊BC的中點 ∴DE＝BE＝CE， ∴∠BDE＝∠DBE

∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD

∴∠ODE＝∠ODB＋∠BDE＝∠OBD＋∠DBE＝∠ABC＝90°

即DE與⊙O相切

（2）若∠C＝30°而DE＝CE ∴∠DEB＝60°

在四邊形OBED中， 則∠BOD＝360°－90°－90°－60°＝120°

（3）連結OE，則∠OED＝∠OEB＝30°

∵OD＝OB＝2 ∴DE＝BE＝2

∴S陰影部分＝S四邊形OBED－S扇形OBD＝S△OBE＋S△ODE－S扇形OBD

＝2＋2－＝4－