Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是BD的中點，CE⊥AB，垂足為E，BD交CE于點F．

小題1:求證：CF=BF；
小題2:若AD=2，⊙O的半徑為3，求BC的長

Answer 1

小題1:連結AC，如圖
∵C是弧BD的中點 ∴∠BDC=∠DBC
又∠BDC=∠BAC
在三角形ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB∴ ∠BCE=∠BAC，
∠BCE=∠DBC
∴  CF=BF 因此，CF=BF．                 3分
小題2:證法一：作CG⊥AD于點G，
∵C是弧BD的中點   ∴∠CAG=∠BAC，
即AC是∠BAD的角平分線．
∴  CE=CG，AE="AG" ，在Rt△BCE與Rt△DCG中，CE="CG" ，CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG，∴BE="DG" ，∴AE=AB-BE=AG=AD+DG即   6-BE=2+DG      
∴2BE=4，即BE=2 又 △BCE∽△BAC，∴
（舍去負值），∴                          7分
（2）證法二：∵AB是⊙O的直徑，CE⊥AB

∴∠BEF=，
在與中，
∵
∴∽，則 
即，  ∴ 
又∵， ∴
利用勾股定理得： 
又∵△EBC∽△ECA則，即則 
∴即
∴  ∴ 

（1）等弧對等角；
（2）以上兩種解題方法都用到了三角形的相似。