Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點P、Q分別為BC、CD邊上一點，且BP=CQ=BC，連接AP、BQ交于點G，在AP的延長線上取一點E，使GE=AG，連接BE、CE．∠CBE的平分線BN交AE于點N，連接DN，若DN=,則CE的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：首先得出∠AGB=90°，過點D作DM⊥AN于M，根據五點共圓的性質得出Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，然后根據DN的長度得出正方形的邊長，根據△ABP的等積法得出BG的長度，然后根據△BGP和△CNP相似得出CN的長度，最后根據等腰直角三角形的性質得出CE的長度．

詳解：∵BP=CQ，則△ABP≌△BCQ，∴∠AGB=90°，

連接CN，延長BN交CE于H． 過點D作DM⊥AN于M，

∴Rt△ADM≌Rt△ABG，DM=AG， ∵BN平分∠CBE，∴CH=HE，

∵∠CBN=∠EBN，BE=BC，BN=BN， ∴△BCN≌△BEN，

∴CN=NE，△CEN是等腰三角形，

延長AE交DC延長線于F，則有：∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，

A，B，C，D，N五點共圓，∠AND=∠BNG=45°[AB弦所對圓周角=45°]

Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，

∵DN=， ∴AB=MN=，根據△ABP的等積法可得：BG=，

∵△BGP∽△CNP，則CN=2BG=，則CE=．