Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，為等邊三角形，點坐標為，點為軸上位于點上方的一個動點，以為邊向的右側作等邊，連接，并延長交軸于點.

(1)求證：；

(2)當點在運動時，是否平分？請說明理由；

(3)當點在運動時，在軸上是否存在點，使得為等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）平分，理由見解析（3）存在，Q（0，3），（0，1）．

【解析】

（1）根據等邊三角形性質得出OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，求出∠OPB＝∠APC，證出△PBO≌△PCA即可；

（2）由（1）知∠POB＝∠PAC＝60゜，得到∠PAC＝∠OAP＝60゜，即可得到平分;

(3)①當AQ＝AE＝2時，△AEQ為等腰三角形，點Q在y軸的正半軸上，求得OQ＝AE＋AO＝3，②當AQ＝AE＝2時，△AEQ為等腰三角形，點Q在y軸的負半軸上，求得OQ＝AQAO＝1，③當EQ＝AE＝2時，△AEQ為等腰三角形，x軸是AQ的垂直平分線，求得OQ＝AO＝1，即可得到結論．

（1）證明：∵△BPC和△AOP是等邊三角形，

∴OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，

∴∠APO＋∠APB＝∠BPC＋∠APB，

即∠OPB＝∠APC，

在△PBO和△PCA中，

，

∴△PBO≌△PCA （SAS）

∴OB＝AC．

（2）平分，理由如下：

由（1）知∠POB＝∠PAC＝60゜，

∴∠PAC＝∠OAP＝60゜，

∴平分;

（3）解：存在，

∵AE＝2AO＝2，

∴①當AQ＝AE＝2時，△AEQ為等腰三角形，點Q在y軸的正半軸上，

∴OQ＝AE＋AO＝3，

∴Q（0，3），

②當AQ＝AE＝2時，△AEQ為等腰三角形，點Q在y軸的負半軸上，

∴OQ＝AQAO＝1，

∴Q（0，1），

③當EQ＝AE＝2時，△AEQ為等腰三角形，x軸是AQ的垂直平分線，

∴OQ＝AO＝1，

∴Q（0，1）．

綜上所述：在y軸上存在點Q，使得△AEQ為等腰三角形，Q（0，3），（0，1）．