Question

【題目】如圖1，E為邊長為1的正方形ABCD中CD邊上的一動點（不含點C、D），以BE為邊作圖中所示的正方形BEFG

（1）求∠ADF的度數

（2）如圖2，若BF交AD于點H，連接EH，求證：HB平分∠AHE

（3）如圖3，連接AE、CG，作BM⊥AE于點M，BM交GC于點N，連接DN．當E在CD上運動時，求證：NC=NG

Answer 1

【答案】（1）∠FDA=45°;（2）證明見解析;（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先利用同角的余角相等得出∠EFG=∠BEC，從而判斷出△BCE≌△EGF，即可EG=BC=CD，進而得出△FDG為等腰直角三角形即可；

（2）同（1）的方法判斷出△ABH≌△CBM，△BEH≌△BEM，進而得出∠AHB=∠BHE即可；

（3）同（1）方法判斷出△CPB≌△BMA，△BQG≌△EMB，進而得出CP=GQ=BM，又得出△CPN≌△GQN，得出NC=NG，最后根據點E的運動情況判斷出點E和C重合時，DN最小，用勾股定理求解即可，點E和點D重合時，DN最大，用勾股定理求解即可．

試題解析：

（1）如圖1，

過點F作FG⊥DG交CD的延長線于G，

∴∠EFG+∠FEG=90°，

∵∠FEG+∠BEC=90°，

∴∠EFG=∠BEC，

在△BCE和△EGF中， ，

∴△BCE≌△EGF，

∴BC=EG

∴EG=BC=CD

∴DG=CE=FG

∴△FDG為等腰直角三角形

∴∠FDA=45°

（2）如圖2，

延長EC至M，且使CM=AH，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠BAH=∠BCM=90°，

在△ABH和△BCM中，

∴△ABH≌△CBM（SAS），

∴∠AHB=∠CMB，BH=BM，

∵BE是正方形BEFG的對角線，

∴∠EBH=45°，

∴∠ABH+∠CBE=45°，

∴∠EBM=∠CBM+∠CBE=45°，

∴∠EBH=∠MBE，

在△BEH和△BEM中，

∴△BEH≌△BEM（SAS）

∴∠BHE=∠BME，

∵∠AHB=∠CMB，

∴∠AHB=∠BHE，

∴HB平分∠AHE；

（3）如圖3，

過點C作CP⊥BM于P，過點G作GQ⊥BM于Q，

∵∠ABM+∠CBM=90°，∠BCP+∠CBM=90°

∴∠ABM=∠BCP，

在△CPB和△BMA中， ，

∴△CPB≌△BMA，

∴CP=BM，

同理：△BQG≌△EMB，

∴GQ=BM，

∴CP=GQ=BM

在△CPN和△GQN中， ，

∴△CPN≌△GQN（AAS）

∴NC=NG，