Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB邊于點E，EF∥BC，交CD于點F，點G是BC邊的中點，連接GF，且∠1=∠2，CE與GF交于點M，過點M作MH⊥CD于點H．

（1）求證：四邊形BCFE是菱形；

（2）若CH=1，求BC的長；

（3）求證：EM=FG+MH．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2；（3）見解析.

【解析】

（1）由在平行四邊形ABCD中，EF∥BC，可得四邊形BCFE是平行四邊形，又由CE平分∠BCD，易得△BCE是等腰三角形，繼而證得四邊形BCFE是菱形；
（2）由∠1=∠2，可得∠ECF=∠2，即△CMF是等腰三角形，又由MH⊥CD，可得CF=2CH，繼而求得BC的長；
（3）首先連接BC交CF于點O，易得△BCF是等邊三角形，繼而可得OM=MH，OE=FG，則可證得結論．

(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠1=∠ECF，

∵EF∥BC，

∴四邊形BCFE是平行四邊形，

∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE=∠ECF，

∴∠BCE=∠1，

∴BC=BE，

∴四邊形BCFE是菱形；

(2)∵∠1=∠ECF，∠1=∠2，

∴∠ECF=∠2，

∴CM=FM，

∵MH⊥CD，

∴CF=2CH=2×1=2，

∵四邊形BCFE是菱形；

∴BC=CF=2；

(3)連接BF交CE于點O，

∵G是BC中點，

∴

∵

∴CG=CH,

在△CGM和△CHM中，

∴△CGM≌△CHM(SAS)，

∴

即FG⊥BC，

∴CF=BF，

∵BC=CF，

∴BC=CF=BF，

∴△BCF是等邊三角形，

∴

∴

∵BF⊥CE，

∴OM=MH，

∵OE=OC=FG，

∴EM=FG+MH.