Question

【題目】

問題探究：（1）已知：如圖1，在正方形ABCD中，點E，H分別在BC，AB上，若AE丄DH于點O，求證：AE=DH

類比探究：（2）已知：如圖2，在正方形ABCD中，點H，E，G，F分別在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于點O，則線段EF與HG有什么數量關系，并說明理由；

拓展應用：（3）已知：如圖3，在（2）問條件下，若HF∥GE，BE=EC=2，EO=2FO，求HG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF=GH，理由見解析；（3）GH=．

【解析】

試題分析：（1）由正方形的性質得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；

（2）EF=GH．將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF，將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．根據（1）的結論得AM=DN，所以EF=GH；

（3）易得△AHF∽△CGE，所以，由EC=2得AF=1，過F作FP⊥BC于P，根據勾股定理得EF=，根據（2）①知EF=GH，即可得到結論．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．

∴∠HAO+∠OAD=90°．

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD=90°．

∴∠HAO=∠ADO．

∴△ABE≌△DAH（ASA），

∴AE=DH．

（2）EF=GH．

將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF．

將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．

∵EF⊥GH，

∴AM⊥DN，

根據（1）的結論得AM=DN，所以EF=GH；

（3）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD

∴∠AHO=∠CGO

∵FH∥EG

∴∠FHO=∠EGO

∴∠AHF=∠CGE

∴△AHF∽△CGE

∴，

∵EC=2，

∴AF=1，

過F作FP⊥BC于P，

根據勾股定理得EF==

根據（2）知EF=GH，

∴GH=．