Question

【題目】一個能被13整除的自然數我們稱為“十三數”，“十三數”的特征是：若把這個自然數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差，如果能被13整除，那么這個自然數就一定能被13整除．例如：判斷383357能不能被13整除，這個數的末三位數字是357，末三位以前的數字組成的數是383，這兩個數的差是383﹣357=26，26能被13整除，因此383357是“十三數”．

（1）判斷3253和254514是否為“十三數”，請說明理由．

（2）若一個四位自然數，千位數字和十位數字相同，百位數字與個位數字相同，則稱這個四位數為“間同數”．

①求證：任意一個四位“間同數”能被101整除．

②若一個四位自然數既是“十三數”，又是“間同數”，求滿足條件的所有四位數的最大值與最小值之差．

Answer 1

【答案】（1）3253不是“十三數”，254514是“十三數”（2）①證明見解析②滿足條件的所有四位數的最大值與最小值之差為7878

【解析】

（1）根據題目中“十三數”的定義分析判斷即可；

（2）①先設出一個四位的“同間數”再判斷其除以101是否為整數即可證明；

②同①設出一個四位的“同間數”再根據“十三數”的定義分別求出最大值與最小值即可.

（1）解：3253不是“十三數”，254514是“十三數”，理由如下：

∵3﹣253=﹣250，不能被13整除，

∴3253不是“十三數”，

∵254﹣514=﹣260，﹣260÷13=﹣20

∴254514是“十三數”；（3分）

（2）①證明：設任意一個四位“間同數”為（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b為整數），

∵===10a+b，

∵a、b為整數，

∴10a+b是整數，

即任意一個四位“間同數”能被101整除；

②解：設任意一個四位“間同數”為（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b為整數），

∵=，（7分）

∵這個四位自然數是“十三數”，

∴101b+9a是13的倍數，

當a=1，b=3時，101b+9a=303+9=312，312÷13=24，此時這個四位“間同數”為：1313；

當a=2，b=6時，101b+9a=606+18=624，624÷13=48，此時這個四位“間同數”為：2626；

當a=3，b=9時，101b+9a=909+27=736，936÷13=72，此時這個四位“間同數”為：3939；

當a=5，b=2時，101b+9a=202+45=247，247÷13=19，此時這個四位“間同數”為：5252；

當a=6，b=5時，101b+9a=505+54=559，559÷13=43，此時這個四位“間同數”為：6565；

當a=7，b=8時，101b+9a=808+63=871，871÷13=67，此時這個四位“間同數”為：7878；

當a=9，b=1時，101b+9a=101+81=182，182÷13=14，此時這個四位“間同數”為：9191；

綜上可知：這個四位“間同數”最大為9191，最小為1313，

9191﹣1313=7878，

則滿足條件的所有四位數的最大值與最小值之差為7878．