Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）與y軸交于點C（0，2），拋物線的對稱軸交x軸于點D．

（1）求拋物線的表達式；
（2）在拋物線的對稱軸是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形，如果存在，求出P點的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？并求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）代入y=ax2+bx+c中得： ，

解得： ．

故拋物線的表達式為：y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣ ）2+ ；

則D（ ，0），

在Rt△OCD中，OC=2，OD= ，

由勾股定理得：CD= = ，

如圖1，

①當CD=DP1時，△PCD是等腰三角形，

∴P1（ ， ），

②當CD=DP2時，△PCD是等腰三角形，

∴P2（ ，﹣ ），

③當CD=CP3時，△PCD是等腰三角形，

過C作CE⊥DP1于E，

∵C（0，2），

∴DE=OC=2，

∵CD=CP3，

∴DE=P3E=2，

∴P3（ ，4），

綜上所述，P點的坐標為：P1（ ， ），P2（ ，﹣ ），P3（ ，4）

（3）

解：如圖2，

∵A（﹣1，0），對稱軸是：x= ，

∴B（4，0），

設BC的解析式為：y=kx+b，

把B（4，0），C（0，2）代入得： ，

解得： ，

∴BC的解析式為：y=﹣ x+2，

設E（m，﹣ m+2），F（m，﹣ m2+ m+2），

∴EF=﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2）=﹣ m2+2m，

∴S四邊形BDCF=S△BCD+S△BFC= BDOC+ EFOB= × ×2+ （﹣ m2+2m）×4，

S=﹣m2+4m+2.5=﹣（m﹣2）2+6.5（0＜m＜4），

當m=2時，﹣ m+2=﹣ ×2+2=1，

∴當m=2時，四邊形CDBF的面積最大，最大為6.5，此時E（2，1）．

【解析】（1）利用待定系數法求拋物線的表達式；（2）以CD為腰的等腰三角形有三個：①②以D為圓心，以CD為半徑畫弧交對稱軸于P1、P2 ， ③以C為圓心，以CD為半徑畫弧，交對稱軸于P3 ， 分別求出這三個點的坐標；（3）先根據對稱性求點B的坐標為（4，0），再求直線BC的解析式，設出點E和F的坐標，表示EF的長；則四邊形BDCF的面積等于兩個三角形面積的和，其中△BDC是定值，△BFC的面積=鉛直高度與水平寬度的積，代入面積公式可求得S的解析式，求最值即可．
【考點精析】關于本題考查的坐標與圖形變化-對稱，需要了解關于x軸對稱的點的特征：兩個點關于x軸對稱時，它們的坐標中，x相等，y的符號相反，即點P（x，y）關于x軸的對稱點為P’（x，-y）；關于y軸對稱的點的特征：兩個點關于y軸對稱時，它們的坐標中，y相等，x的符號相反，即點P（x，y）關于y軸的對稱點為P’（-x，y）才能得出正確答案．