Question

【題目】在△AOB中，C，D分別是OA，OB邊上的點，將△OCD繞點O順時針旋轉到△OC′D′．

（1）如圖1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點，證明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；

（2）如圖2，若△AOB為任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點E，猜想∠AEB=θ是否成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）成立，理由見解析

【解析】

試題分析：（1）①由旋轉的性質得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，證出OC′=OD′，由SAS證明△AOC′≌△BOD′，得出對應邊相等即可；

②由全等三角形的性質得出∠OAC′=∠OBD′，又由對頂角相等和三角形內角和定理得出∠BEA=90°，即可得出結論；

（2）由旋轉的性質得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行線得出比例式，得出，證明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由對頂角相等和三角形內角和定理即可得出∠AEB=θ．

試題解析：（1）證明：①∵△OCD旋轉到△OC′D′，

∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，

∵OA=OB，C、D為OA、OB的中點，

∴OC=OD，

∴OC′=OD′，

在△AOC′和△BOD′中，，

∴△AOC′≌△BOD′（SAS），

∴AC′=BD′；

②延長AC′交BD′于E，交BO于F，如圖1所示：

∵△AOC′≌△BOD′，

∴∠OAC′=∠OBD′，

又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，

∴∠OBD′+∠BFE=90°，

∴∠BEA=90°，

∴AC′⊥BD′；

（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如圖2所示：

∵△OCD旋轉到△OC′D′，

∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，

∵CD∥AB，

∴，

∴，

∴，

又∠AOC′=∠BOD′，

∴△AOC′∽△BOD′，

∴∠OAC′=∠OBD′，

又∠AFO=∠BFE，

∴∠AEB=∠AOB=θ．