Question

【題目】如圖，在四邊形 ABCD 中，∠BAD=α，∠BCD=180°-α，BD 平分∠ABC．

（1）如圖，若α=90°，根據教材中一個重要性質直接可得 DA=CD，這個性質是 ；

（2）問題解決：如圖，求證：AD=CD；

（3）問題拓展：如圖，在等腰△ABC 中，∠BAC=100°，BD 平分∠ABC，求證：BD+AD=BC．

Answer 1

【答案】（1）角平分線上的點到角的兩邊距離相等；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

【解析】

（1）根據角平分線的性質定理解答；

（2）作DE⊥BA交BA延長線于E，DF⊥BC于F，證明△DEA≌△DFC，根據全等三角形的性質證明；

（3）在BC時截取BK=BD，連接DK，根據（2）的結論得到AD=DK，根據等腰三角形的判定定理得到KD=KC，結合圖形證明．

（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD=90°，∠BCD=90°，∴DA=DC（角平分線上的點到角的兩邊距離相等）．

故答案為：角平分線上的點到角的兩邊距離相等；

（2）如圖2，作DE⊥BA交BA延長線于E，DF⊥BC于F．

∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE=DF．

∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°，∴∠EAD=∠C．

在△DEA和△DFC中，∵，∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA=DC；

（3）如圖，在BC時截取BK=BD，連接DK．

∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°．

∵BD平分∠ABC，∴∠DBK∠ABC=20°．

∵BD=BK，∴∠BKD=∠BDK=80°，即∠A+∠BKD=180°，由（2）的結論得AD=DK．

∵∠BKD=∠C+∠KDC，∴∠KDC=∠C=40°，∴DK=CK，∴AD=DK=CK，∴BD+AD=BK+CK=BC．