Question

【題目】綜合題。
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，H分別在BC，AB上，AE與DH交于O，若AE=DH，求證：AE⊥DH；

（2）如圖2，在正方形ABCD中，點H，E，G，F分別在AB，BC，CD，DA上，EF與GH交于O，若EF=HG，探究線段EF與HG的位置關系，并說明理由；

（3）如圖3所示，在（2）問條件下，若HF∥GE，試探究線段FH、線段EG與線段EF的數量關系，并說明．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．

∴∠HAO+∠OAD=90°．

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD=90°．

∴∠HAO=∠ADO，

在△ABE和△DAH中 ，

∴△ABE≌△DAH（ASA），

∴AE=DH

（2）

解：EF⊥GH．

理由：如圖2，將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF．

將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．

∵EF=GH，

∴AM=DN，

在Rt△ABM和Rt△DAN中， ，

∴Rt△ABM≌Rt△DAN，

∴∠BAM=∠ADN，

∵∠DAM+∠BAM=90°，

∴∠DAM+∠ADN=90°，

∴AM⊥DN，

∴EF⊥HG

（3）

解：EG+FH= EF．理由：如圖3，

過點H作HP∥FE交GE的延長線于P，

∵FH∥EG，

∴四邊形EFHP是平行四邊形，

∴FH=PE，HP=EF，

由（2）知，EF=HG，

∴HP=HG，

∵HP∥FE，EF⊥HG，

∴HP⊥HG，

在Rt△PHG中，根據勾股定理得，PG= HG= EF，

∵PG=EG+PE=EG+FH，

∴EG+FH= EF

【解析】（1）由正方形的性質得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；（2）將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF，將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．再判斷出Rt△ABM≌Rt△DAN，最后代換即可得出結論；（3）先構造出平行四邊形EFHP，得出FH=PE，HP=EF，再用勾股定理即可得出結論．