Question

【題目】如圖，∠BCD＝90°，BC＝DC，直線PQ經過點D．設∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于點A，將射線CA繞點C按逆時針方向旋轉90°，與直線PQ交于點E．

（1）判斷：∠ABC　 　∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；

（2）猜想△ACE的形狀，并說明理由；

（3）若△ABC的外心在其內部（不含邊界），直接寫出α的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形，理由見解析；（3）45°＜α＜90°

【解析】

（1）利用四邊形內角和等于360度得：∠B+∠ADC＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，即可求解；

（2）證明△ABC≌△EDC（AAS）即可推知△ACE是等腰直角三角形；

（3）當∠ABC＝α＝90°時，△ABC的外心在其直角邊上，∠ABC＝α＞90°時，△ABC的外心在其外部，即可求解．

解：（1）在四邊形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，

而∠ADC+∠EDC＝180°，

∴∠ABC＝∠PDC．

故答案是：＝；

（2）△ACE是等腰直角三角形，理由如下：

∵∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠ECD．

由（1）知：∠ABC＝∠PDC，

又∵BC＝DC，

∴△ABC≌△EDC（AAS），

∴AC＝CE．

又∵∠ACE＝90°，

∴△ACE是等腰直角三角形；

（3）當∠ABC＝α＝90°時，△ABC的外心在其直角邊上，

∠ABC＝α＞90°時，△ABC的外心在其外部，

而45°＜α＜135°，

故：45°＜α＜90°．