Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB在x軸上，AB=10，以AB為直徑的⊙與y軸正半軸交于點C，連接BC、AC，CD是⊙的切線，AD⊥CD于點D，tan∠CAD=，拋物線過A、B、C三點.

（1）求證：∠CAD=∠CAB；
（2）求拋物線的解析式；
（3）判斷拋物線的頂點E是否在直線CD上，并說明理由.

Answer 1

（1）證明∠CA=∠CAD，∠CAB=∠CA，得∠CAD=∠CAB；（2） （3）拋物線頂點E在直線CD上；理由將E（3，）代入直線DC的解析式y(tǒng)=x+4中，右邊=×3+4==左邊，得拋物線頂點E在直線CD上

試題分析：（1）證明：連接C，
∵CD是⊙的切線，
∴C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴C∥AD，
∴∠CA=∠CAD，
∵A=C，
∴∠CAB=∠CA，
∴∠CAD=∠CAB；              
（2）解：①∵AB是⊙的直徑，

∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴,
即OC²=OA•OB，
∵tan∠CAO=tan∠CAD=，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC²=2CO（10-2CO），
∵CO＞0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A（8，0），B（-2，0），C（0，4），             
∵拋物線y=ax²+bx+c過點A，B，C三點，
∴c=4，
由題意得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；              
②設直線DC交x軸于點F，
∴△AOC≌△ADC，
∴AD=AO=8，
∵C∥AD，
∴△FC∽△FAD，
∴，
∴8（BF+5）=5（BF+10），
∴BF=，F(xiàn)（）；              
設直線DC的解析式為y=kx+m，則，
解得：?，
∴直線DC的解析式為y=x+4，
由=得頂點E的坐標為（3，），
將E（3，）代入直線DC的解析式y(tǒng)=x+4中，
右邊=×3+4==左邊，
∴拋物線頂點E在直線CD上；              
點評：本題考查拋物線，要求考生會用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，會判斷一個點是否在函數(shù)圖象上