Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結BE．

（1）求∠CAM的度數；

（2）若點D在線段AM上時，求證：△ADC≌△BEC；

（3）當動D在直線AM上時，設直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）答案見解析；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可以直接得出結論；

（2）根據等邊三角形的性質就可以得出AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性質就可以∠BCE＝∠ACD，根據SAS就可以得出△ADC≌△BEC；

（3）分情況討論：當點D在線段AM上時，如圖1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出結論；當點D在線段AM的延長線上時，如圖2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE＝∠CAD＝30°而得出結論；當點D在線段MA的延長線上時，如圖3，通過得出△ACD≌△BCE同樣可以得出結論．

（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°．

∵線段AM為BC邊上的中線，∴∠CAM∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝30°．

（2）∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE．

在△ADC和△BEC中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．理由如下：

①當點D在線段AM上時，如圖1，由（2）可知△ACD≌△BCE，則∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°．

∵△ABC是等邊三角形，線段AM為BC邊上的中線，∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

②當點D在線段AM的延長線上時，如圖2．

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD＝30°．

由（1）得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

③當點D在線段MA的延長線上時．

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD．

由（1）得：∠CAM＝30°，∴∠CBE＝∠CAD＝150°，∴∠CBO＝30°，∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

綜上所述：當動點D在直線AM上時，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．