Question

【題目】已知，如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。

求證：BC=AB＋DC。

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】

證明線段的和差倍分問題常用截長補短的方法．在線段BC上截取BE＝BA，連接DE．則只需證明DC＝CE，即結合角度證明∠CDE＝∠DEC．

證明：在線段BC上截取BE＝BA，連接DE．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC．

在△ABD和△EBD中，，

∴△ABD≌△EBD（SAS）

∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB

又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC＝×（180°108°）＝36°，

∴∠ABD＝∠EBD＝18°

∴∠ADB＝∠EDB＝180°18°108°＝54°

∴∠CDE＝180°∠ADB∠EDB＝180°54°54°＝72°

∴∠DEC＝180°∠DEB＝180°108°＝72°

∴∠CDE＝∠DEC．

∴DC＝CE．

∴BC＝BE＋CE＝AB＋DC．