Question

【題目】如圖，點M是矩形ABCD的邊AD的中點，點P是BC邊上一動點，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足為E、F．

(1)當矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時，四邊形PEMF為矩形？猜想并證明你的結論．

(2)在(1)中，當點P運動到什么位置時，矩形PEMF變為正方形，為什么？

Answer 1

【答案】(1) 當AD=2AB時，四邊形PEMF為矩形，理由見解析；(2) 當P是BC的中點時，矩形PEMF為正方形，理由見解析

【解析】

(1)根據矩形的性質推出∠A=∠D=90°，AB=CD，AM=DM，求出∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，求出∠BMC，即可求出矩形PEMF．
(2)根據AAS證△BFP≌△CEP，推出PE=PF即可．

(1)當AD=2AB時，四邊形PEMF為矩形．

證明：∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠A=∠D=90°，

∵AD=2AB=2CD，AM=DM=AD，

∴AB=AM=DM=CD，

∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，

∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，

∵PE⊥MC，PF⊥BM，

∴∠MEP=∠FPE=90°，

∴四邊形PEMF為矩形，

即當AD=2AB時，四邊形PEMF為矩形；

(2)當P是BC的中點時，矩形PEMF為正方形．

理由是：∵四邊形PEMF為矩形，

∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°，

在△BFP和△CEP中

，

∴△BFP≌△CEP(AAS)，

∴PE=PF，

∵四邊形PEMF是矩形，

∴矩形PEMF是正方形，

即當P是BC的中點時，矩形PEMF為正方形．