Question

【題目】如圖，半圓O的直徑為AB，D是半圓上的一個動點（不與點A，B重合），連接BD并延長至點C，使CD＝BD，連接AC，過點D作DE⊥AC于點E．

（1）請猜想DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）當AB＝4，∠BAC＝45°時，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）與相切；（2）

【解析】

（1）先證明OD為△ABC的中位線得到OD∥AC，再利用DE⊥AC得到OD⊥DE，然后根據切線的判定方法可確定DE為⊙O的切線；

（2）作OF⊥AC于F，如圖，證明四邊形ODEF為矩形得到OF=DE，再證明△OAF為等腰直角三角形得到OF=，從而得到DE的長．

（1）DE與⊙O相切．理由如下：

連接OD．

∵CD=BD，OA=OB，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥AC．

∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE為⊙O的切線；

（2）作OF⊥AC于F，如圖，易得四邊形ODEF為矩形，∴OF=DE．

∵∠BAC=45°，∴△OAF為等腰直角三角形，∴OF=OA=，∴DE=．