Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑．PC是⊙O的切線，C為切點，PD⊥AB于點D，交AC于點E．

（1）求證：∠PCE＝∠PEC；

（2）若AB＝10，ED＝，sinA＝，求PC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PC＝．

【解析】

（1）由弦切角定理可知∠PCA＝∠B，由直角所對的圓周角等于90°可知∠ACB＝90°．由同角的余角相等可知∠AED＝∠B，結合對頂角的性質可知∠PCE＝∠PEC；

（2）過點P作PF⊥AC，垂足為F．由銳角三角函數的定義和勾股定理可求得AC＝8，AE＝，由等腰三角形三線合一的性質可知EF＝，然后證明△AED∽△PEF，由相似三角形的性質可求得PE的長，從而得到PC的長．

（1）∵PC是圓O的切線，

∴∠PCA＝∠B．

∵AB是圓O的直徑，

∴∠ACB＝90°．

∴∠A+∠B＝90°．

∵PD⊥AB，

∴∠A+∠AED＝90°．

∴∠AED＝∠B．

∵∠PEC＝∠AED，

∴∠PCE＝∠PEC．

（2）如圖所示，過點P作PF⊥AC，垂足為F．

∵AB＝10，sinA＝，

∴BC＝AB＝6．

∴AC＝＝8．

∵DE＝，sinA＝，

∴AE＝．

∴EC＝AC﹣AE＝8﹣＝．

∵PC＝PE，PF⊥EC，

∴EF＝．

∵∠AED＝∠PEF，∠EDA＝∠EFP，

∴△AED∽△PEF．

∴，．

解得：EP＝．

∴PC＝．