Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，O為邊AB上的一點，以O為圓心，以OA為半徑，作⊙O，交AB于點D，交AC于點E，交BC于點F，且點F恰好是ED的中點，連接DF．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若⊙O的直徑為10，AE=6，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析；(2) 4．

【解析】

試題分析：（1）連接OF，AF，由題意得出，由圓周角定理和等腰三角形的性質得出∠1=∠3，證出AC∥OF，得出∠BFO=∠ACB=90°，即可得出結論；

（2）連接ED，交OF于H，由圓周角定理得出∠AED=90°，由勾股定理求出ED=8，證明四邊形ECFH為矩形，得出∠EHO=90°，OF⊥ED，由三角形中位線定理得出OH==3，求出HF=5﹣3=2，得出=4，證出陰影部分的面積與△CEF的面積相等，即可得出答案．

試題解析：（1）連接OF，AF如圖，

∵F為的中點，

∴，

∴∠1=∠2，

∵AO=FO，

∴∠3=∠2，

∴∠1=∠3，

∴AC∥OF，

∴∠BFO=∠ACB=90°，

∵F為⊙O上一點，

∴BC為⊙O的切線；

（2）連接ED，交OF于H，如圖，

∵AD為⊙O的直徑，

∴∠AED=90°，

在Rt△ADE中，ED==8，

∵∠AED=90°=∠ACF=∠BFO，

∴四邊形ECFH為矩形，

∴∠EHO=90°，OF⊥ED，

∴H為ED的中點，

∴EH=4，

∵O為AD的中點，

∴OH==3，

∴HF=5﹣3=2，

∴=4，

∵，

∴弓形FD與弓形EF全等，

∴陰影部分的面積與△CEF的面積相等，

故圖中陰影部分的面積為4．