Question

【題目】已知：拋物線 y＝ax2＋bx＋1 經過 A(1，0)、B(－1，3)兩點．

（1）求 a，b 的值；

（2）以線段 AB 為邊作正方形 ABB′A′，能否將已知拋物線平移，使其經過 A′、B′兩點？若能，求出平移后經過 A′、B′兩點的拋物線的解析式；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）能，拋物線解析式為：或.

【解析】

（1）根據題意將A、B兩點坐標代入解析式進一步求解即可；

（2）如圖，根據題意，首先畫出合適的圖形，得出正方形ABB′A′以及ABB′′A′′，然后根據兩種圖形分兩種情況進一步分析討論即可.

（1）∵拋物線 y＝ax2＋bx＋1 經過 A(1，0)、B(－1，3)兩點，

故有：，，

∴，；

（2）

連接A′B，AB′交于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，過點A′作A′G⊥x軸于點G，

∵四邊形ABB′A′為正方形，

∴∠BA A′=90°，AB= A′A，BE= A′E= B′E=AE，

∵∠BA A′=90°，

∴∠BAF+∠A′AG=90°，

∵∠ABF+∠BAF=90°，

∴∠A′AG=∠ABF，

在△BAF與△A′AG中，

∵∠BFA=∠AG A′，∠ABF=∠A′AG，AB= A′A，

∴△BAF≌△A′AG，

∴A′G=AF，AG=BF，

∵AF=2，BF=3，

∴點A′的橫坐標=OG=OA+AG=4，

點A′的縱坐標= A′G=2，

即點A′的坐標為(4，2)，

∵點A′的坐標為(4，2)，點B的坐標為(，3)，E是A′B的中點，

∴點E的坐標為：(，)，

∵E是A B′的中點，點A的坐標為(1，0)，

∴點B′的橫坐標=，點B′的縱坐標=，

即點B′的坐標為(2，5)，

過A、B兩點的拋物線的解析式為：，

化為頂點式為：，

設平移后的解析式為：，

假設其經過點A′、B′，

則：，

，

∴，，

故存在經過A′、B′兩點的拋物線，其解析式為：，

當正方形為ABB′′A′′時，同理可得點A′′的坐標為(，)，點B′′的坐標為(，1)，

此時經過A′′、B′′兩點的拋物線的解析式為：.