Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點O在△ABC的內部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分別是AB，OB，OC，AC的中點．

(1)求證：四邊形DEFG是矩形；

(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）21

【解析】

（1）連接AO并延長交BC于H，首先四邊形DEFG是平行四邊形，然后證得EF⊥DE，從而證得平行四邊形DEFG是矩形；

（2）根據△BOC是等腰直角三角形，求得BC和AH的長，利用三角形的面積計算公式求其面積即可．

(1)證明：如圖，連接AO并延長交BC于H，

∵AB＝AC，OB＝OC，

∴AH是BC的中垂線，即AH⊥BC.

∵D，E，F，G分別是AB，OB，OC，AC的中點，

　(第14題)

∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF.

∴四邊形DEFG是平行四邊形．

∵EF∥BC，

AH⊥BC，

∴AH⊥EF.

又∵DE∥AH，

∴EF⊥DE，

∴四邊形DEFG是矩形．

(2)解：∵D，E，F分別是AB，OB，OC的中點，

∴AO＝2DE＝4，BC＝2EF＝6.　

∵△BOC是等腰直角三角形，

∴OH＝BC＝3.

∴AH＝OA＋OH＝4＋3＝7.

∴S△ABC＝×6×7＝21.