Question

【題目】如圖，邊長為2的正方形ABCD，點P在邊BC上（不與B，C重合），將△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直線與AP所在直線交于點F．

（1）如圖，若∠BAP=30°，求∠AFE的度數；

（2）若點E恰為線段DF的中點時，請通過運算說明點P會在線段BC的什么位置？直接寫出此時

∠AFD的度數；

（3）若點P是線段BC上任意一點時（不與B，C重合），∠AFD的度數是否會發生變化？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）點P在線段BE的垂直平分線上,45°;

（3）∠AFD的度數不會發生變化，理由見解析

【解析】分析：（1）當點P在線段BC上時，由折疊得到一對角相等，再利用正方形性質求出∠DAE度數，在三角形AFD中，利用內角和定理求出所求角度數即可；（2）由E為DF相等，得到P為BC中點，如圖1，連接BE交AF于點O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF垂直平分BE，進而得到三角形BOP與三角形EOG全等，利用全等三角形對應邊相等得到BP=EG=1，得到P為BC中點，進而求出所求角度數即可；（3）若點P是線段BC上任意一點時（不與B，C重合），∠AFD的度數不會發生變化，理由為：作AG⊥DF于點G，如圖1（a）所示，利用折疊的性質及三線合一性質，根據等式的性質求出∠1+∠2的度數，即為∠FAG度數，即可求出∠F度數；

本題解析：

（1）∵∠EAP=∠BAP=30°，

∴，

在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，

∴，

在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，

∴；

（2）點E為DF的中點時，P也為BC的中點，理由如下：

如圖1，連接BE交AF于點O，作EG∥AD，得EG∥BC，

∵EG∥AD，DE=EF，

∴，

∵AB=AE，

∴點A在線段BE的垂直平分線上，

同理可得點P在線段BE的垂直平分線上，

∴AF垂直平分線段BE，

∴OB=OE，

∵GE∥BP，

∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，

∴△BOP≌△EOG，

∴BP=EG=1，即P為BC的中點，

的度數為；

（3）∠AFD的度數不會發生變化，

證明：作AG⊥DF于點G，如圖2所示，

在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，

∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，

∴，即∠FAG=45°，

則．