Question

【題目】已知二次函數(shù)y=2x2+bx﹣1．

（1）求證：無(wú)論b取什么值，二次函數(shù)y=2x2+bx﹣1圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)．

（2）若兩點(diǎn)P（﹣3，m）和Q（1，m）在該函數(shù)圖象上．

①求b、m的值；

②將二次函數(shù)圖象向上平移多少單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)？

Answer 1

【答案】（1）無(wú)論b取什么值，二次函數(shù)y=2x2+bx﹣1圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)．

（2）b=4，m=5；（3）二次函數(shù)圖象向上平移3個(gè)單位

【解析】

試題分析：（1）先計(jì)算判別式的值，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可判斷△=＞0，然后根據(jù)判別式的意義可判斷拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）①先利用拋物線的對(duì)稱性可確定拋物線的對(duì)稱軸方程，從而可求出b的值，然后計(jì)算自變量為1所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可得到m的值；

②設(shè)平移后拋物線的關(guān)系式為y=2x2+4x﹣1+k，根據(jù)判別式的意義△=0得到關(guān)于k的方程，然后解方程求出k的值即可判斷拋物線平移的距離．

試題解析：（1）證明：∵△=b2﹣4×2×（﹣1）=b2+8＞0，

∴無(wú)論b取何值時(shí)，二次函數(shù)y=2x2+b x﹣1圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）解：①∵點(diǎn)P、Q是二次函數(shù)y=2x2+bx﹣1圖象上的兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)縱坐標(biāo)都為m

∴點(diǎn)P、Q關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴拋物線對(duì)稱軸是直線x=﹣1，

∴，解得b=4，

∴拋物線解析式為y=2x2+4x﹣1，

當(dāng)x=1時(shí)，m=2×12+4×1﹣1=5；

②設(shè)平移后拋物線的關(guān)系式為y=2x2+4x﹣1+k，

∵平移后的圖象與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，

∴△=16+8﹣8 k=0，解得k=3，

即將二次函數(shù)圖象向上平移3個(gè)單位時(shí)，函數(shù)圖象與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)．