Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD和四邊形DEFG為正方形，點E在線段DE上，點A，D，G在同一直線上，且AD=3，DE=1，連接AC，CG，AE，并延長AE交CG于點H．

（1）求sin∠EAC的值．
（2）求線段AH的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：作EM⊥AC于M．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，AD=DC=3，∠DCA=45°，

∴在RT△ADE中，∵∠ADE=90°，AD=3，DE=1，

∴AE= ，

在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，∠ECM=45°，EC=2，

∴EM=CM= ，

∴在RT△AEM中，sin∠EAM= = ．

（2）在△GDC和△EDA中，

，

∴△GDC≌△EDA，

∴∠GCD=∠EAD，GC=AE= ，

∵∠EHC=∠EDA=90°，

∴AH⊥GC，

∵S△AGC= AGDC= GCAH，

∴ ×4×3= × ×AH，

∴AH= ．

【解析】（1）作EM⊥AC于M，根據sin∠EAM= 求出EM、AE即可解決問題．（2）先證明△GDC≌△EDA，得∠GCD=∠EAD，推出AH⊥GC，再根據S△AGC= AGDC= GCAH，即可解決問題．本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、三角形面積等知識，添加常用輔助線是解決問題的關鍵，學會用面積法求線段，屬于中考常考題型．