Question

【題目】已知：如圖，AB為⊙O的直徑，PA，PC是⊙O的切線，A，C為切點，∠BAC=30°．

（1）求∠P的大小；
（2）若AB=6，求PA的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA是⊙O的切線，AB為⊙O的直徑，

∴PA⊥AB，即∠PAB=90°．

∵∠BAC=30°，

∴∠PAC=90°﹣30°=60°．

又∵PA、PC切⊙O于點A、C，

∴PA=PC，

∴△PAC是等邊三角形，

∴∠P=60°

（2）解：如圖，連接BC．

∵AB是直徑，∠ACB=90°，

∴在Rt△ACB中，AB=6，∠BAC=30°，

可得AC=ABcos∠BAC=6×cos30°=3 ．

又∵△PAC是等邊三角形，

∴PA=AC=3 ．

【解析】（1）由圓的切線的性質，得∠PAB=90°，結合∠BAC=30°得∠PAC=90°﹣30°=60°．由切線長定理得到PA=PC，得△PAC是等邊三角形，從而可得∠P=60°．（2）連接BC，根據直徑所對的圓周角為直角，得到∠ACB=90°，結合Rt△ACB中AB=6且∠BAC=30°，得到AC=ABcos∠BAC=3 ．最后在等邊△PAC中，可得PA=AC=3 ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用切線的性質定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．