Question

【題目】【問題提出】

如圖①，已知△ABC是等腰三角形，點E在線段AB上，點D在直線BC上，且ED=EC，將△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF連接EF

試證明：AB=DB+AF

【類比探究】

（1）如圖②，如果點E在線段AB的延長線上，其他條件不變，線段AB，DB，AF之間又有怎樣的數量關系？請說明理由

（2）如果點E在線段BA的延長線上，其他條件不變，請在圖③的基礎上將圖形補充完整，并寫出AB，DB，AF之間的數量關系，不必說明理由．

Answer 1

【答案】證明見解析；（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD．

【解析】試題分析：（1）根據旋轉的性質得出△EDB與FEA全等的條件BE=AF，再結合已知條件和旋轉的性質推出∠D=∠AEF，∠EBD=∠EAF=120°，得出△EDB≌FEA，所以BD=AF，等量代換即可得出結論．（2）先畫出圖形證明∴△DEB≌△EFA，方法類似于（1）；（3）畫出圖形根據圖形直接寫出結論即可．

試題解析：（1）證明：DE=CE=CF，△BCE

由旋轉60°得△ACF，

∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，

∴△CEF是等邊三角形，

∴EF=CE，

∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，

∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，

∵∠DBE=120°，

∴∠EAF=∠DBE，

又∵A，E，C，F四點共圓，

∴∠AEF=∠ACF，

又∵ED=DC，

∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，

∴∠D=∠AEF，

∴△EDB≌FEA，

∴BD=AF，AB=AE+BF，

∴AB=BD+AF．

類比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋轉60°得△ACF，

∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，

∴△CEF是等邊三角形，

∴EF=CE，

∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，

∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，

∴∠FCG=∠FEA，

又∠FCG=∠EAD

∠D=∠EAD，

∴∠D=∠FEA，

由旋轉知∠CBE=∠CAF=120°，

∴∠DBE=∠FAE=60°

∴△DEB≌△EFA，

∴BD=AE， EB=AF，

∴BD=FA+AB．

即AB=BD-AF．

（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）