Question

【題目】已知正方形ABCD中，點E、F分別為邊AB、BC上的點，連接CE、DF相交于點G，CE=DF．

（1）如圖①，求證：DF⊥CE；

（2）如圖②，連接BD，取BD的中點O，連接OE、OF、EF，求證：△OEF為等腰直角三角形

（3）如圖③，在（2）的條件下，將△CBE和△DCF分別沿CB、DC翻折到△CBM和△DCN的位置，連接OM、ON、MN，若AE=2BE，ON=，求EG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）如圖1中，證明Rt△CBE≌△Rt△DCF（HL），即可解決問題．

（2）如圖2中，連接OC．想辦法證明△OBE≌△OCF（SAS），即可解決問題．

（3）如圖3中，連接OC．設BE=a，則BM=EB=CF=CN=a，AE=2a，BC=AB=3a，首先證明△OMN是等腰直角三角形，利用勾股定理求出a即可解決問題．

（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠B=∠DCF=90°，

∵DE=CE，

∴Rt△CBE≌△Rt△DCF（HL），

∴BE=CF，∠ECB=∠CDF，

∵∠ECB+∠DCE=90°，

∴∠CDF+∠DCE=90°，

∴∠CGD=90°，

∴EC⊥DF．

（2）如圖2中，連接OC．

∵CB=CD，∠BCD=90°，OB=OD，

∴OC=OB=OD，OC⊥BD，

∴∠OCB=45°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD=45°，

∴∠OBE=∠OCF，

∵BE=CF，OB=OC，

∴△OBE≌△OCF（SAS），

∴OE=OF，∠BOE=∠COF，

∴∠EOF=∠BOC=90°，

∴△EOF是等腰直角三角形．

（3）如圖3中，連接OC．設BE=a，則BM=EB=CF=CN=a，AE=2a，BC=AB=3a，

∵BE=BM，CF=CN，BE=CF，

∴BM=CN，

∵OB=OC，∠OBM=∠OCN=135°，BM=CN，

∴△OBM≌△OCN（SAS），

∴∠BOM=∠COM，

∴∠MON=∠BOC=90°，

∴△MON是等腰直角三角形，

∵OM=ON=，

∴MN=2，

在Rt△MBN中，a2+16a2=68，

∴a=2（負根已經舍棄），

BE=2，BC=6，EC=2，

∵△CGF∽△CBE，

，

，

，

．