Question

【題目】如圖，△OAB中，OA=OB = 10，∠AOB = 80°，以點O為圓心， 6為半徑的優弧MN分別交OA，OB于點M，N．

（1）點P在右半弧上（∠BOP是銳角），將OP繞點O逆時針旋轉80°得OP′．求證：AP=BP′；

（2）點T在左半弧上，若AT與弧相切，求點T到OA的距離；

（3）設點Q在優弧MN上，當△AOQ的面積最大時，直接寫出∠BOQ的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）10°或170°．

【解析】

試題分析：（1）首先根據已知得出∠AOP=∠BOP′，進而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；

（2）利用切線的性質得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的長，進而得出TH的長即可得出答案；

（3）當OQ⊥OA時，△AOQ面積最大，且左右兩半弧上各存在一點分別求出即可．

試題解析：（1）如圖1，

∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，

∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，

∴∠AOP=∠BOP′，

∵在△AOP和△BOP′中

∴△AOP≌△BOP′（SAS），

∴AP=BP′；

（2）如圖1，連接OT，過點T作TH⊥OA于點H，

∵AT與弧MN相切，

∴∠ATO=90°，

∴AT===8，

∵×OA×TH=×AT×OT，

即×10×TH=×8×6，

解得：TH=，即點T到OA的距離為；

（3）如圖2，當OQ⊥OA時，△AOQ的面積最大；

理由：∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大，

∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°，

當Q點在優弧MN右側上，

∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大，

∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-80°=10°，

綜上所述：當∠BOQ的度數為10°或170°時，△AOQ的面積最大．