Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+1交y軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B（4，0），與過(guò)A點(diǎn)的直線相交于另一點(diǎn)D（3， ），過(guò)點(diǎn)D作DC⊥x軸，垂足為C．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P在線段OC上（不與點(diǎn)O、C重合），過(guò)P作PN⊥x軸，交直線AD于M，交拋物線于點(diǎn)N，連接CM，求△PCM面積的最大值；
（3）若P是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)OP的長(zhǎng)為t，是否存在t，使以點(diǎn)M、C、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（3， ），代入y=ax2+bx+1中得， ，

解得： ，

∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣ x2+ x+1

（2）

解：設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，

∵A（0，1），D（3， ），

∴ ，

∴ ，

∴直線AD的解析式為y= x+1，

設(shè)P（t，0），

∴M（t， t+1），

∴PM= t+1，

∵CD⊥x軸，

∴PC=3﹣t，

∴S△PCM= PCPM= （3﹣t）（ t+1），

∴S△PCM=﹣ t2+ t+ =﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴△PCM面積的最大值是

（3）

解：∵OP=t，

∴點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)為t，

設(shè)M（t， t+1），N（t，﹣ t2+ t+1），

∴MN=﹣ t2+ t+1﹣ t﹣1=﹣ t2+ t，CD= ，

如果以點(diǎn)M、C、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴MN=CD，即﹣ t2+ t= ，

∵△=﹣39，

∴方程﹣ t2+ t= 無(wú)實(shí)數(shù)根，

∴不存在t，使以點(diǎn)M、C、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

【解析】（1）把B（4，0），點(diǎn)D（3， ）代入y=ax2+bx+1即可得出拋物線的解析式；（2）先用含t的代數(shù)式表示P、M坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式求出△PCM的面積與t的函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用配方法可求出△PCM面積的最大值；（3）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=DC，故可得出關(guān)于t的二元一次方程，解方程即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．